Конспект по математическому анализу

Объединённый конспект лекций. Разделы, определения, теоремы, леммы и следствия пронумерованы сквозным образом по всему документу.

В приложениях А–В сохранена исходная нумерация вопросов: это справочные материалы для подготовки, а не основная часть конспекта.

Содержание

Часть I. Множества и действительные числа

1. Множества
1. Свойства действительных чисел
1. Последовательность вложенных отрезков
1. Промежутки числовой оси
1. Окрестность точки
1. Ограниченность и неограниченность множеств

Часть II. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности
1. Предел числовой последовательности
1. Свойства числовых последовательностей
1. Арифметические действия над последовательностями

Часть III. Пределы последовательностей и предел функции

1. Арифметика пределов последовательностей (продолжение)
1. Фундаментальные последовательности и критерий Коши
1. Правила вычисления пределов и неопределенности
1. Предел функции

Часть IV. Предел функции по Коши

1. Определения предела функции по Коши
1. Односторонние пределы
1. Теоремы о пределах
1. Краткая сводка обозначений

Часть V. Теоремы о пределах функции

1. Теоремы о пределах функции (продолжение)
1. Первый замечательный предел
1. Предел сложной функции

Часть VI. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1. Основные определения
1. Свойства бесконечно малых функций
1. Сравнение бесконечно малых функций

Часть VII. Эквивалентные бесконечно малые

1. Таблица эквивалентных бесконечно малых при $x \to 0$
1. Доказательства некоторых эквивалентностей
1. Свойства эквивалентных бесконечно малых
1. Необходимое и достаточное условие эквивалентности б.м.

Часть VIII. Теория пределов и непрерывность функций

1. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых
1. Непрерывность функции в точке
1. Точки разрыва функции и их классификация

Приложение А

1. Справочник определений (черновой список)

Приложение Б

1. Краткие ответы на вопросы

Приложение В. Подготовка к РК1

1. Теоретические вопросы (определения)
1. Теоретические вопросы (определение предела по Коши)
1. Теоретические вопросы (формулировки теорем)
1. Сводка

Часть I. Множества и действительные числа

1. Множества

Множество — совокупность элементов, обладающих общими (характерными) свойствами.

$A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$
$A = \{x: p(x)\}$

Иерархия числовых множеств

![[иерархия_числовых_множеств.svg.svg|700]]

2. Свойства действительных чисел

Пусть $a, b, c \in \mathbb{R}$:

$a + b = b + a$ — коммутативность сложения
$(a + b) + c = a + (b + c)$ — ассоциативность сложения
$\exists\, 0$ такое число, что $a + 0 = a$ — существование нейтрального элемента по сложению
$\exists\, (-a)$ такое число, что $a + (-a) = 0$ — существование противоположного элемента
$a \cdot b = b \cdot a$ — коммутативность умножения
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ — ассоциативность умножения
$\exists\, 1$ такое число, что $a \cdot 1 = a$ — существование нейтрального элемента по умножению
Для каждого $a \neq 0$ $\exists\, a^{-1}$ такое число, что $a \cdot a^{-1} = 1$ — существование обратного элемента
Упорядоченность: Справедливо только одно из соотношений: $a < b$, $a > b$, $a = b$.
Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$ — транзитивность.
Если $a < b$, то $a + c < b + c$.
Если $a < b$ и $c > 0$, то $a \cdot c < b \cdot c$.
$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ — дистрибутивность.
Полнота: Пусть $A \subset \mathbb{R}$, $B \subset \mathbb{R}$ — непустые множества. Если для любых элементов $a \in A$ и $b \in B$ выполняется неравенство $a \le b$, тогда найдется такое $c$, что: $$a \le c \le b$$

3. Последовательность вложенных отрезков

Лемма 1. О последовательности вложенных отрезков

Пусть имеется последовательность вложенных отрезков $I_n = [a_n; b_n]$, где $I_n \subset I_{n-1} \subset \dots \subset I_2 \subset I_1$. Тогда найдется такая точка $c$, которая принадлежит всем отрезкам.

Доказательство:

$I_{n} = [a_{n}; b_{n}]$, $I_{m} = [a_{m}; b_{m}]$. Пусть $I_{m} \subset I_{n}$ , $A = \{a_i\}$ и $B = \{b_j\}$. Так как $a_n \le b_n$ , для $\forall a_i \in A$, $b_j \in B$ справедливо $a_i \le b_j$. По свойству полноты существует такое $c$, что: $$a_i \le c \le b_j$$

4. Промежутки числовой оси

Интервал: $(a; b) = \{x \in \mathbb{R}: a < x < b\}$
Полуинтервалы:
$[a; b) = \{x \in \mathbb{R}: a \le x < b\}$
$(a; b] = \{x \in \mathbb{R}: a < x \le b\}$
$(-\infty; b) = \{x: x < b\}$
$(a; +\infty) = \{x: x > a\}$
$(-\infty; b] = \{x : x \le b\}$
$[a; +\infty) = \{x : x \ge a\}$
Отрезок:
$[a; b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}$

5. Окрестность точки

Виды окрестностей

Окрестностью точки $x \in \mathbb{R}$ называется любой интервал, содержащий эту точку.
$\varepsilon$-окрестностью точки $x \in \mathbb{R}$ называется интервал $(x - \varepsilon; x + \varepsilon)$, где $\varepsilon > 0$.
Окрестностью $+\infty$ называется интервал $(a; +\infty)$.
Окрестностью $-\infty$ называется интервал $(-\infty; -a)$.
Окрестностью $\infty$ называется $(-\infty; -a) \cup (a; +\infty)$, где $a \in \mathbb{R}, a > 0$.

6. Ограниченность и неограниченность множеств

Множество $X \subset \mathbb{R}$ называется ограниченным сверху, если существует такое число $C$, что для любого $x \in X$ выполняется $x \le C$.
Множество $X \subset \mathbb{R}$ называют ограниченным снизу, если существует такое число $C_1$, что для любого $x \in X$ выполняется $x \ge C_1$.
Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу.
Множество $X$ называется неограниченным, если оно не является ограниченным.

Точные грани множеств (Supremum & Infimum)

Пусть $X$ ограничено сверху. Любое число, которое не меньше каждого элемента из $X$, называется верхней границей. * Наименьшая из верхних границ называется точная верхняя грань (супремум): $$M = \sup X$$ Свойства $\sup$: 1. Для любого $x \in X$ выполняется $x \le M$. 2. Для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой $x \in X$, что $x > M - \varepsilon$.

Пусть $X$ ограничено снизу. Любое число $a$, удовлетворяющее $a \le x$ для всех $x \in X$, называется нижней границей. * Наибольшая из нижних границ называется точная нижняя грань (инфимум): $$m = \inf X$$ Свойства $\inf$: 1. Для любого $x \in X$ выполняется $x \ge m$. 2. Для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой $x \in X$, что $x < m + \varepsilon$.

Часть II. Числовые последовательности

7. Числовые последовательности

Функция — правило (закон), которое ставит в соответствие некоторому элементу $x \in X$ некоторый элемент $y \in Y$. При этом $X$ — область определения функции, $Y$ — множество значений ($y = f(x)$).

Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$. Если каждому $n \in \mathbb{N}$ поставлено в соответствие число $x_n$ , то $x_n$ называется $n$-ым элементом числовой последовательности.

Запись последовательности: * $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n-1}, x_{n}$ , например $2, \frac{3}{4}, \frac{4}{9}, \dots, \frac{n+1}{ n^{2}}$ * $\{x_n\}$, например $\{\frac{n+1}{n^2}\}$.

Ограниченность последовательностей

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $C$, что для всех $n = 1, 2, \dots$ выполняется $x_n \le C$.
Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $C_1$, что для всех $n = 1, 2, \dots$ выполняется $x_n \ge C_1$.
Последовательность $\{x_n\}$ называют ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу: $|x_n| \le C$, где $C > 0$.

Монотонность

Возрастающая (строго): $x_{n+1} > x_n$
Убывающая (строго): $x_{n+1} < x_n$
Невозрастающая: $x_{n+1} \le x_n$
Неубывающая: $x_{n+1} \ge x_n$

Все перечисленные типы называют монотонными последовательностями.

8. Предел числовой последовательности

Определение: Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого $\varepsilon > 0$ (сколь угодно малого) существует такое натуральное число $N = N(\varepsilon)$, что для всех $n \ge N$ выполняется: $$|x_n - a| < \varepsilon$$

Обозначение: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$

Геометрический смысл: Начиная с номера $N+1$, все элементы последовательности находятся в $\varepsilon$-окрестности точки $a$. За пределами этой окрестности находится лишь конечное число элементов.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Если последовательность не имеет предела (или он равен $\infty$), она называется расходящейся.

Пример

Доказать, что предел $x_n = \frac{4 + 2n}{3n}$ равен $a = \frac{2}{3}$.

\[|x_n - a| < \varepsilon \implies \left| \frac{4 + 2n}{3n} - \frac{2}{3} \right| < \varepsilon \implies \left| \frac{4 + 2n - 2n}{3n} \right| < \varepsilon \implies \frac{4}{3n} < \varepsilon \implies n > \frac{4}{3\varepsilon}\]

При $\varepsilon = 0{,}1$: $n > \frac{4}{0{,}3} = 13{,}3 \implies N = 13$. Начиная с $14$-го элемента все члены будут в $(-0{,}1; +0{,}1)$ окрестности предела, а вне её — ровно 13 элементов.
При $\varepsilon = 0{,}01$: $n > 133{,}3 \implies N = 133$.

9. Свойства числовых последовательностей

Теорема 1 (О пределе постоянной последовательности)

Пусть $\{x_n\}$ такая, что $x_n = C$, где $C = \text{const}$. Тогда: $$\lim_{n \to \infty} x_n = C$$

Доказательство: Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$ и $N = 1$. Рассмотрим $|x_n - C| = |C - C| = 0 < \varepsilon$. По определению, $\lim_{n \to \infty} x_n = C$.

Теорема 2 (О единственности предела сходящейся последовательности)

Любая сходящаяся последовательность имеет не более одного предела.

Доказательство (от противного): Предположим, что $\{x_n\}$ имеет 2 различных предела: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ и $\lim_{n \to \infty} x_n = b$, причем $a \neq b$.

Из $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ по определению для $\varepsilon = \frac{|b - a|}{3}$ существует $N_1 = N_1(\varepsilon)$, что для всех $n > N_1$: $$|x_n - a| < \frac{|b - a|}{3}$$
Из $\lim_{n \to \infty} x_n = b$ по определению для той же $\varepsilon$ существует $N_2 = N_2(\varepsilon)$, что для всех $n > N_2$: $$|x_n - b| < \frac{|b - a|}{3}$$

Возьмем $N = \max\{N_1, N_2\}$. Для любого $n > N$ рассмотрим: $$|b - a| = |b - x_n + x_n - a| \le |b - x_n| + |x_n - a| < \frac{|b - a|}{3} + \frac{|b - a|}{3} = \frac{2}{3} |b - a|$$

Получили неравенство $|b - a| < \frac{2}{3} |b - a|$, что невозможно. Следовательно, предположение неверно, и сходящаяся последовательность имеет ровно 1 предел.

Теорема 3 (Об ограниченности сходящейся последовательности)

Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть $\{x_n\}$ — сходящаяся последовательность и $\lim_{n \to \infty} x_n = a$.Возьмем $\varepsilon = 1$. По определению найдется $N = N(1)$, такое что для всех $n > N$ выполняется $|x_n - a| < 1$.

Используя свойство модуля $(|a| - |b| \le |a - b|)$: $$|x_n| - |a| \le |x_n - a| < 1 \implies |x_n| < |a| + 1 \quad \text{при } n > N$$

Обозначим $C = \max \{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_N|, |a| + 1 \}$. Тогда для любых $n$ выполняется $|x_n| \le C$. По определению ограниченной последовательности, $\{x_n\}$ ограничена.

10. Арифметические действия над последовательностями

Теорема 4 (О пределе суммы)

Пусть $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ — сходящиеся последовательности, и $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, $\lim_{n \to \infty} y_n = b$. Тогда предел суммы последовательностей равен сумме их пределов: $$\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n = a + b$$

Доказательство: 1. Так как $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, по определению для любого $\frac{\varepsilon}{2} > 0$ найдется $N_1 = N_1(\varepsilon)$, такое что при $n > N_1$: $$|x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}$$

Так как $\lim_{n \to \infty} y_n = b$, по определению для того же $\frac{\varepsilon}{2} > 0$ найдется $N_2 = N_2(\varepsilon)$, такое что при $n > N_2$: $$|y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2}$$

Возьмем $N = \max\{N_1, N_2\}$. Для $n > N$ рассмотрим: $$|(x_n + y_n) - (a + b)| = |(x_n - a) + (y_n - b)| \le |x_n - a| + |y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

Получили $|(x_n + y_n) - (a + b)| < \varepsilon$, следовательно: $$\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = a + b = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n \quad $$

Теорема 5 (О пределе произведения)

Пусть $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ — сходящиеся последовательности. Тогда: $$\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = a \cdot b = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$$

Доказательство: Так как $\{x_n\}$ сходится, то по теореме об ограниченности она ограничена: $\exists \, C > 0$, что $|x_n| \le C$ для всех $n$.

Так как $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, для $\frac{\varepsilon}{2(|b| + 1)} > 0$ найдется $N_1$, что при $n \ge N_1$: $$|x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2(|b| + 1)}$$
Так как $\lim_{n \to \infty} y_n = b$, для $\frac{\varepsilon}{2(C + 1)} > 0$ найдется $N_2$, что при $n \ge N_2$: $$|y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2(C + 1)}$$

Возьмем $N = \max\{N_1, N_2\}$. Для $n > N$ рассмотрим: $$|x_n y_n - ab| = |x_n y_n - x_n b + x_n b - ab| = |x_n(y_n - b) + b(x_n - a)| \le$$ $$\le |x_n| \cdot |y_n - b| + |b| \cdot |x_n - a| < C \cdot \frac{\varepsilon}{2(C + 1)} + |b| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|b| + 1)}$$

Заметим, что $\frac{C}{C + 1} < 1$ и $\frac{|b|}{|b| + 1} < 1$, следовательно: $$|x_n y_n - ab| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

По определению предела: $$\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = a \cdot b = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n \quad $$

Часть III. Пределы последовательностей и предел функции

11. Арифметика пределов последовательностей (продолжение)

Следствие 1 (Вынесение постоянного множителя)

Если $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ и $y_n = c$ ($c = \text{const}$), то:

\[\lim_{n \to \infty} (c \cdot x_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} c = c \cdot \lim_{n \to \infty} x_n\]

Теорема 6 (О пределе частного сходящихся последовательностей)

Пусть $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ — сходящиеся последовательности, причём:

\[\lim_{n \to \infty} x_n = a, \quad \lim_{n \to \infty} y_n = b \quad (b \neq 0)\]

Пусть $\{y_n\}$ состоит из ненулевых элементов ($y_n \neq 0$). Тогда:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} = \frac{a}{b}\]

Доказательство:

Запишем предел частного как произведение:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty} \left( x_n \cdot \frac{1}{y_n} \right) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n}\]

Докажем, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n} = \frac{1}{b}$.

Так как $\lim_{n \to \infty} y_n = b \neq 0$, по определению предела для $\varepsilon = \frac{\vert{}b\vert{}}{2} > 0$ найдется номер $N_1 = N_1(\varepsilon)$, такой что для всех $n > N_1$:

\[\vert{}y_n - b\vert{} < \frac{\vert{}b\vert{}}{2}\]

Используя неравенство модуля $\vert{}b\vert{} - \vert{}y_n\vert{} \le \vert{}y_n - b\vert{} < \frac{\vert{}b\vert{}}{2}$, получаем:

\[\vert{}y_n\vert{} > \frac{\vert{}b\vert{}}{2} \implies \frac{1}{\vert{}y_n\vert{}} < \frac{2}{\vert{}b\vert{}}\]

Для произвольного $\varepsilon > 0$ возьмём число $\frac{\varepsilon \vert{}b\vert{}^2}{2} > 0$. Из того, что $\lim_{n \to \infty} y_n = b$, по определению предела найдётся номер $N_2 = N_2(\varepsilon)$, такой что для всех $n > N_2$:

\[\vert{}y_n - b\vert{} < \frac{\varepsilon \vert{}b\vert{}^2}{2}\]

Возьмём $N = \max\{N_1, N_2\}$. Тогда для всех $n > N$ рассмотрим разность:

\[\left\vert{} \frac{1}{y_n} - \frac{1}{b} \right\vert{} = \left\vert{} \frac{b - y_n}{y_n \cdot b} \right\vert{} = \frac{\vert{}b - y_n\vert{}}{\vert{}b\vert{}} \cdot \frac{1}{\vert{}y_n\vert{}} < \frac{\varepsilon \vert{}b\vert{}^2}{2} \cdot \frac{1}{\vert{}b\vert{}} \cdot \frac{2}{\vert{}b\vert{}} = \varepsilon\]

Таким образом, по определению предела последовательности:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n} = \frac{1}{b}\]

Следовательно:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n} = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}\]

$\blacksquare$

12. Фундаментальные последовательности и критерий Коши

Определение 1. Фундаментальная последовательность

Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon > 0$ существует номер $N = N(\varepsilon)$, такой что для всех $n > N$ и $m > N$ выполняется неравенство:

\[\vert{}x_n - x_m\vert{} < \varepsilon\]

Теорема 7 (Критерий Коши о существовании предела последовательности)

Для того чтобы последовательность $\{x_n\}$ сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

1. Необходимость: Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $\lim_{n \to \infty} x_n = a$.

Тогда по определению предела для любого $\frac{\varepsilon}{2} > 0$ найдётся номер $N = N(\varepsilon)$, такой что:

для $n > N \implies \vert{}x_n - a\vert{} < \frac{\varepsilon}{2}$
для $m > N \implies \vert{}x_m - a\vert{} < \frac{\varepsilon}{2}$

Рассмотрим разность $\vert{}x_n - x_m\vert{}$ при $n, m > N$:

\[\vert{}x_n - x_m\vert{} = \vert{}(x_n - a) + (a - x_m)\vert{} \le \vert{}x_n - a\vert{} + \vert{}x_m - a\vert{} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\]

Таким образом, $\{x_n\}$ — фундаментальная последовательность.

2. Достаточность: Пусть $\{x_n\}$ — фундаментальная последовательность.

Ограниченность: Возьмём $\varepsilon = 1$. Тогда найдётся $N$, такое что для $n > N$ и $m = N+1$:

\[\vert{}x_n - x_{N+1}\vert{} < 1 \implies \vert{}x_n\vert{} < \vert{}x_{N+1}\vert{} + 1\]

Обозначим $M = \max\{\vert{}x_1\vert{}, \vert{}x_2\vert{}, \dots, \vert{}x_N\vert{}, \vert{}x_{N+1}\vert{} + 1\}$. Тогда для всех $n$ выполняется $\vert{}x_n\vert{} \le M$, то есть фундаментальная последовательность ограничена и принадлежит отрезку $[a_0, b_0]$. 2. Построение системы вложенных отрезков: Разделим отрезок $[a_0, b_0]$ пополам. Выберем тот из отрезков $[a_0, c_0]$ или $[c_0, b_0]$, который содержит бесконечное число элементов последовательности $\{x_n\}$. Обозначим его $[a_1, b_1]$. Продолжая делить полученные отрезки пополам, получаем последовательность вложенных отрезков $[a_k, b_k]$, длина которых:

\[b_k - a_k = \frac{b_0 - a_0}{2^k} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0\]

По лемме о вложенных отрезках существует единственная точка $c$, принадлежащая всем отрезкам. Показывается, что $\lim_{n \to \infty} x_n = c$. $\blacksquare$

13. Правила вычисления пределов и неопределенности

Типовые соотношения:

$\left[ \frac{c}{\text{ББ}} \right] = 0$
$\left[ \frac{\text{ББ}}{c} \right] = \infty$
$\left[ \frac{c}{\text{БМ}} \right] = \infty$
$\left[ \frac{\text{БМ}}{c} \right] = 0$

(где $\text{ББ}$ — бесконечно большая величина, $\text{БМ}$ — бесконечно малая величина, $c = \text{const}$)

Методы раскрытия неопределенностей

1. Неопределенность $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$

Для устранения неопределенности нужно разделить числитель и знаменатель на $n$ в наибольшей степени (исходя из степеней многочленов).

Пример:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n + 4}{3n^2 + n + 1} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right] = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{4}{n^2}}{3 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{3}\]

2. Неопределенность $[\infty - \infty]$

а) Разность квадратных корней: Умножаем и делим выражение на сопряжённое:

\[\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{f(n)} - \sqrt{g(n)}\right) = [\infty - \infty] = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\sqrt{f(n)} - \sqrt{g(n)}\right)\left(\sqrt{f(n)} + \sqrt{g(n)}\right)}{\sqrt{f(n)} + \sqrt{g(n)}} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(n) - g(n)}{\sqrt{f(n)} + \sqrt{g(n)}}\]

Далее сведётся к $\left[\frac{c}{\infty}\right] = 0$ либо к $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$.

Пример:

\[\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 - 1} - n\right) = [\infty - \infty] = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 - 1} - n)(\sqrt{n^2 - 1} + n)}{\sqrt{n^2 - 1} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 1 - n^2}{\sqrt{n^2 - 1} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{n^2 - 1} + n} = \left[\frac{-1}{\infty}\right] = 0\]

б) Разность кубических корней: Умножаем и делим на неполный квадрат суммы, чтобы получить формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

\[\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt[3]{f(n)} - \sqrt[3]{g(n)}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(n) - g(n)}{\sqrt[3]{f^2(n)} + \sqrt[3]{f(n)g(n)} + \sqrt[3]{g^2(n)}}\]

Пример показательной неопределенности:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} + 5^{n+1}}{2^n + 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2^n + 5 \cdot 5^n}{2^n + 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n + 5}{\left(\frac{2}{5}\right)^n + 1} = \frac{2 \cdot 0 + 5}{0 + 1} = 5\]

14. Предел функции

Определение 2. Предел функции по Гейне

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$.

Число $a$ называется пределом функции $f(x)$ при $x \to x_0$, если для любой последовательности $\{x_n\}$ элементов проколотой окрестности $\dot{\upsilon}(x_0)$, сходящейся к $x_0$ ($\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$), выполняется:

\[\lim_{n \to \infty} f(x_n) = a\]

Обозначение:

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = a\]

Понятие окрестности точки $x_0$:

Окрестность точки $x_0$: $\upsilon(x_0) = (x_0 - \delta; x_0 + \delta)$
Проколотая окрестность точки $x_0$: $\dot{\upsilon}(x_0) = \upsilon(x_0) \setminus \{x_0\} = (x_0 - \delta; x_0) \cup (x_0; x_0 + \delta)$
$\delta$-окрестность точки $x_0$: $\upsilon_\delta(x_0)$
Проколотая $\delta$-окрестность точки $x_0$: $\dot{\upsilon}_\delta(x_0)$

Часть IV. Предел функции по Коши

Конспект лекции по математическому анализу

На семинарах вам могут дать определения с помощью кванторов — но лучше учить формулировки словами: если вы запомните только символы, то через некоторое время не сможете их «расшифровать». На экзамене нужно уметь как дать определение, так и нарисовать соответствующий график.

15. Определения предела функции по Коши

Определение 3. Предел функции в точке (по Коши)

Пусть функция $f(x)$ определена в проколотой окрестности $\dot{\upsilon}(x_0)$ точки $x = x_0$.

Число $a$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $x = x_0$ (или при $x \to x_0$), если для любого $\varepsilon > 0$ существует число $\delta = \delta(\varepsilon)$ такое, что для всех $x$, для которых $0 < |x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство

\[|f(x) - a| < \varepsilon.\]

Обозначение: $$\lim_{x \to x_0} f(x) = a.$$

Геометрическое пояснение

![[1700358582.svg]] На графике $y = f(x)$: по горизонтали откладывается $x$, по вертикали — $y$. Отмечены уровни $a+\varepsilon$, $a$, $a-\varepsilon$ на оси $Oy$ и точки $x_0-\delta_2$, $x_0$, $x_0+\delta_1$ на оси $Ox$.

\[\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}\]

Алгоритм построения (как объяснять «по шагам»):

Выбираем произвольное $\varepsilon > 0$.
Откладываем на оси $Oy$ точки $a+\varepsilon$ и $a-\varepsilon$.
По значениям функции $a+\varepsilon$ и $a-\varepsilon$ находим соответствующие аргументы $x_0+\delta_1$ и $x_0-\delta_2$: $$f(x_0+\delta_1) = a+\varepsilon, \qquad f(x_0-\delta_2) = a-\varepsilon.$$
Полагаем $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$.
Отмечаем на оси $Ox$ точки $x_0-\delta$ и $x_0+\delta$.
Получаем проколотую $\delta$-окрестность точки $x_0$: $$\dot{\upsilon}_\delta(x_0) = (x_0-\delta, x_0) \cup (x_0, x_0+\delta), \qquad \dot{\upsilon}_\delta \equiv 0 < |x-x_0| < \delta.$$
Берём произвольный $x \in \dot{\upsilon}_\delta(x_0)$.
Если $f(x) \in (a-\varepsilon, a+\varepsilon)$, т.е. $|f(x)-a| < \varepsilon$, то говорят, что функция имеет предел: $$a = \lim_{x \to x_0} f(x).$$

Идея: мы произвольно выбираем $\varepsilon$ (то есть «полоску» вокруг $a$), а затем находим (не выбираем!) такое $\delta$, чтобы весь график над интервалом $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ (кроме, может быть, самой точки $x_0$) попадал в эту полоску.

Определение 4. Предел функции при $x \to \infty$

Пусть функция $f(x)$ определена в окрестности бесконечности.

Число $a$ называется пределом функции $f(x)$ при $x \to \infty$, если для $\forall \varepsilon > 0$ существует число $M = M(\varepsilon) > 0$ такое, что для всех $x$, для которых $|x| > M$, выполняется

\[|f(x) - a| < \varepsilon.\]

Обозначение: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = a.$$

Пояснение

![[440184815.svg]]

Выбираем $\forall \varepsilon > 0$.
Откладываем на оси $Oy$ точки $a+\varepsilon$, $a-\varepsilon$.
По значениям функции $a+\varepsilon$, $a-\varepsilon$ находим аргументы $M_1$, $M_2$: $$f(M_1) = a+\varepsilon, \qquad f(M_2) = a - \varepsilon.$$
Полагаем $M = \max\{|M_1|, |M_2|\}$.
Отмечаем на оси $Ox$ точки $M$ и $-M$.
Берём $|x| > M$ (т.е. $x > M$ или $x < -M$).
Если $f(x) \in (a-\varepsilon,\, a+\varepsilon)$ (т.е. $|f(x)-a| < \varepsilon$), то $$a = \lim_{x \to \infty} f(x).$$

Замечание про частные случаи: если график нужно рассматривать только при $x \to +\infty$ (уходит направо), достаточно нарисовать только правую часть и в определении писать просто $x > M$ вместо $|x| > M$. Аналогично, при $x \to -\infty$ рисуется только левая часть и пишется $x < -M$.

Определение 5. Бесконечный предел функции в точке

Пусть функция $f(x)$ определена в проколотой окрестности $\dot{\upsilon}(x_0)$ точки $x = x_0$.

Говорят, что $f(x) \to \infty$ при $x \to x_0$, если для любого сколь угодно большого числа $\varepsilon > 0$ существует число $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$ такое, что для всех $x$, для которых $0 < |x-x_0| < \delta$, выполняется неравенство

\[|f(x)| > \varepsilon.\]

Обозначение: $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty.$$

Пояснение

Выбираем $\forall \varepsilon > 0$.
Откладываем на оси $Oy$ точки $\varepsilon$ и $-\varepsilon$.
По значениям функции $\varepsilon$ и $-\varepsilon$ находим аргументы $x_0+\delta_2$, $x_0-\delta_1$: $$f(x_0-\delta_1) = \varepsilon, \qquad f(x_0+\delta_2) = -\varepsilon.$$
Полагаем $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$.
Отмечаем на оси $Ox$ точки $x_0-\delta$, $x_0+\delta$. Получаем проколотую окрестность $$\dot{\upsilon}_\delta(x_0) = (x_0-\delta, x_0) \cup (x_0, x_0+\delta), \quad (0 < |x-x_0| < \delta).$$
Выбираем $x \in \dot{\upsilon}_\delta(x_0)$.
Если $|f(x)| > \varepsilon$ (т.е. $f(x) > \varepsilon$ или $f(x) < -\varepsilon$), то $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty.$$

На графике одна ветвь функции уходит вверх при приближении к $x_0$ слева, другая — вниз при приближении справа (или обе вверх/обе вниз — в зависимости от функции); важно, что $|f(x)|$ становится сколь угодно большим.

16. Односторонние пределы

Определение 6. Правосторонний предел

Пусть функция $f(x)$ определена на интервале $(x_0,\, x_0+b)$, $b > 0$.

Число $a$ называется правосторонним пределом функции $f(x)$ при $x \to x_0^+$ (справа), если для $\forall \varepsilon > 0$ существует $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$, $\delta < b$, такое что для всех $x$, для которых $x_0 < x < x_0 + \delta$, выполняется

\[|f(x) - a| < \varepsilon.\]

Обозначение: $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = a.$$

Определение 7. Левосторонний предел

Пусть функция $f(x)$ определена на интервале $(x_0-b,\, x_0)$, $b > 0$.

Число $a$ называется левосторонним пределом функции $f(x)$ при $x \to x_0^-$ (слева), если для $\forall \varepsilon > 0$ существует $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$, $\delta < b$, такое что для всех $x$, для которых $x_0 - \delta < x < x_0$, выполняется

\[|f(x) - a| < \varepsilon.\]

Обозначение: $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = a.$$

Примечание (связь одностороннего и обычного предела)

Функция $f(x)$ имеет (конечный) предел в точке $x = x_0$ тогда и только тогда, когда существуют (конечные) левосторонний и правосторонний пределы этой функции и они равны:

\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \exists \lim_{x \to x_0} f(x).\]

17. Теоремы о пределах

Теорема 8 (о единственности предела функции)

Формулировка. Пусть функция $f(x)$ определена в проколотой окрестности $\dot{\upsilon}(x_0)$ точки $x_0$. Если функция $f(x)$ имеет предел в точке $x = x_0$, то он единственный (конечный).

Доказательство (от противного).

Предположим, что функция $f(x)$ имеет два различных предела в точке $x = x_0$: $$\lim_{x \to x_0} f(x) = a, \qquad \lim_{x \to x_0} f(x) = b, \qquad a \ne b.$$

Из того, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$, по определению следует: для числа $$\varepsilon = \frac{|b-a|}{3}$$ существует число $\delta_1 = \delta_1(\varepsilon)$ такое, что для всех $x$, для которых $0 < |x - x_0| < \delta_1$, выполняется $$|f(x) - a| < \frac{|b-a|}{3}.$$

Из того, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = b$, аналогично по определению: для того же $\varepsilon = \dfrac{|b-a|}{3}$ существует число $\delta_2$ такое, что для всех $x$, для которых $0 < |x-x_0| < \delta_2$, выполняется $$|f(x) - b| < \frac{|b-a|}{3}.$$

Возьмём $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ и рассмотрим: $$|b - a| = |b - f(x) + f(x) - a| \le |b - f(x)| + |f(x) - a| < \frac{|b-a|}{3} + \frac{|b-a|}{3} = \frac{2}{3}|b-a|.$$

Получили $$|b - a| < \frac{2}{3}|b-a|,$$ что невозможно.

Следовательно, наше предположение о том, что функция $f(x)$ имеет два различных предела в точке $x = x_0$, неверно. Значит, если функция $f(x)$ в точке $x_0$ имеет предел, то он единственный. $\blacksquare$

Определение 8. Ограниченная функция

Пусть функция $f(x)$ определена на промежутке $I$. Функция называется ограниченной, если существует число $C > 0$ такое, что для всех $x \in I$ выполняется $$|f(x)| \le C.$$

Теорема 9 (о локальной ограниченности функции, имеющей предел)

Формулировка. Для функции $f(x)$, имеющей (конечный) предел в точке $x = x_0$, существует проколотая окрестность $\dot{\upsilon}(x_0)$, в которой она ограничена.

Доказательство.

Пусть $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$. Из этого по определению предела: для $\varepsilon = 1$ существует такое число $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$, что для всех $x$, для которых $0 < |x-x_0| < \delta$, выполняется $$|f(x) - a| < 1.$$

Тогда, используя неравенство $|f(x)| - |a| \le |f(x) - a|$, получаем $$|f(x)| - |a| \le |f(x)-a| < 1 \quad \Longrightarrow \quad |f(x)| < |a| + 1.$$

Обозначим $|a| + 1 = C$. Тогда $|f(x)| < C$ при всех $x$, для которых $0 < |x - x_0| < \delta$, т.е. при $$x \in \dot{\upsilon}_\delta(x_0) = (x_0-\delta, x_0) \cup (x_0, x_0+\delta).$$

Мы получили, что существует такая проколотая окрестность $\dot{\upsilon}_\delta(x_0)$ точки $x_0$, в которой функция $f(x)$ ограничена — по определению ограниченной функции. $\blacksquare$

18. Краткая сводка обозначений

Ситуация	Обозначение	Что откладываем на осях
Конечный предел в точке	$\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = a$	$Oy$: $a\pm\varepsilon$; $Ox$: $x_0\pm\delta$
Конечный предел на бесконечности	$\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = a$	$Oy$: $a\pm\varepsilon$; $Ox$: $\pm M$
Бесконечный предел в точке	$\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty$	$Oy$: $\pm\varepsilon$; $Ox$: $x_0\pm\delta$
Правосторонний предел	$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+} f(x) = a$	только правая часть окрестности $x_0$
Левосторонний предел	$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-} f(x) = a$	только левая часть окрестности $x_0$

Общая логика всех $\varepsilon$-$\delta$ (или $\varepsilon$-$M$) определений: мы произвольно берём точность $\varepsilon$ (насколько близко/велико должно быть значение функции), а затем по этому $\varepsilon$ находим соответствующее $\delta$ (или $M$) — то есть насколько близко/далеко нужно взять аргумент $x$, чтобы гарантированно попасть в нужный диапазон значений функции.

Часть V. Теоремы о пределах функции

19. Теоремы о пределах функции (продолжение)

Теорема 10 (О сохранении функцией знака своего предела)

Пусть функция $f(x)$ определена в $\dot{\mathcal{U}}(x_0)$ (проколотой окрестности) точки $x = x_0$ и имеет предел $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$ ($a \neq 0$). Тогда найдется такая $\dot{\mathcal{U}}_\delta(x_0)$, в которой функция будет иметь такой же знак, как знак числа $a$ (предела) при $x \to x_0$.

Доказательство:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = a$ по определению.

Для $\varepsilon = \frac{a}{2}$ ($a > 0$) найдется число $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$, такое что для всех $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \delta$, выполняется:

\[\vert{}f(x) - a\vert{} < \frac{a}{2}\]

Отсюда получаем:

\[-\frac{a}{2} < f(x) - a < \frac{a}{2}\]

\[\frac{a}{2} < f(x) < \frac{3}{2}a\]

Так как $a > 0$, то и $f(x) > \frac{a}{2} > 0$ при таких $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \delta$ (в $\dot{\mathcal{U}}_\delta(x_0)$).

Получили, что существует такая $\dot{\mathcal{U}}_\delta(x_0)$, в которой функция сохраняет знак своего предела.

Теорема 11 (О предельном переходе в неравенство)

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в $\dot{\mathcal{U}}(x_0)$.

Для $x \in \dot{\mathcal{U}}(x_0)$ выполняется:

\[f(x) \ge g(x)\]

Пусть $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$, $\lim_{x \to x_0} g(x) = b$. Тогда $a \ge b$.

Доказательство (от противного):

Предположим, что $a < b$.
Из того, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$, по определению, для $\varepsilon = \frac{b - a}{2} > 0$ найдется число $\delta_1 = \delta_1(\varepsilon) > 0$, такое что для всех $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \delta_1$, выполняется:

\[\vert{}f(x) - a\vert{} < \frac{b - a}{2}\]

Отсюда:

\[-\frac{b - a}{2} < f(x) - a < \frac{b - a}{2}\]

\[a - \frac{b - a}{2} < f(x) < a + \frac{b - a}{2}\]

\[\frac{3a - b}{2} < f(x) < \frac{a + b}{2} \quad (1)\]

Из того, что $\lim_{x \to x_0} g(x) = b$, по определению, для $\varepsilon = \frac{b - a}{2} > 0$ найдется $\delta_2 = \delta_2(\varepsilon) > 0$, такое что для всех $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \delta_2$, выполняется:

\[\vert{}g(x) - b\vert{} < \frac{b - a}{2}\]

Отсюда:

\[-\frac{b - a}{2} < g(x) - b < \frac{b - a}{2}\]

\[\frac{b - a}{2} + b < g(x) < b + \frac{b - a}{2}\]

\[\frac{b + a}{2} < g(x) < \frac{3b - a}{2} \quad (2)\]

Возьмем $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Рассмотрим $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \delta$.

Тогда:

\[f(x) < \frac{a + b}{2} < g(x)\]

(из (1) и (2))

То есть $f(x) < g(x)$, что противоречит условию теоремы.

Наше предположение неверно, и значит $a \ge b$.

Примечание

Если в условиях теоремы $f(x) > g(x)$ при $x \in \dot{\mathcal{U}}(x_0)$, то $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$ и $\lim_{x \to x_0} g(x) = b$ могут быть равны ($a = b$).

Пример:

Пусть функции определены в $\dot{\mathcal{U}}(0) = (-1; 0) \cup (0; 1)$.

\[f(x) = \vert{}x\vert{}, \quad g(x) = x^2\]

При $x \in \dot{\mathcal{U}}(0)$ выполняется $\vert{}x\vert{} > x^2$, но при этом:

\[\lim_{x \to 0} \vert{}x\vert{} = 0, \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0\]

Получили, что если $f(x) > g(x)$ при $x \in \dot{\mathcal{U}}(0)$, то $a = b = 0$.

Теорема 12 (О пределе промежуточной функции / "Зажатая функция")

Пусть функции $f(x)$, $h(x)$, $g(x)$ определены в $\dot{\mathcal{U}}(x_0)$ и для любого $x \in \dot{\mathcal{U}}(x_0)$ выполняется:

\[f(x) \le h(x) \le g(x)\]

Пусть $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = a$, тогда:

\[\lim_{x \to x_0} h(x) = a\]

Доказательство:

Из того, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$ и $\lim_{x \to x_0} g(x) = a$, по определению:

\[\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta_1 = \delta_1(\varepsilon) > 0,\]

такое что для всех $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \delta_1$, выполняется:

\[\vert{}f(x) - a\vert{} < \varepsilon\]

И $\exists \delta_2 = \delta_2(\varepsilon) > 0$, такое что для всех $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \delta_2$, выполняется:

\[\vert{}g(x) - a\vert{} < \varepsilon\]

Из того, что $\vert{}f(x) - a\vert{} < \varepsilon$:

\[-\varepsilon < f(x) - a < \varepsilon \implies a - \varepsilon < f(x) < a + \varepsilon \quad (3)\]

Из того, что $\vert{}g(x) - a\vert{} < \varepsilon$:

\[-\varepsilon < g(x) - a < \varepsilon \implies a - \varepsilon < g(x) < a + \varepsilon \quad (4)\]

Возьмем $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Рассмотрим $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \delta$:

\[a - \varepsilon < f(x) \le h(x) \le g(x) < a + \varepsilon\]

(из (3) и (4))

То есть:

\[a - \varepsilon < h(x) < a + \varepsilon\]

\[-\varepsilon < h(x) - a < \varepsilon\]

\[\vert{}h(x) - a\vert{} < \varepsilon\]

Тогда по определению предела функции в точка $x_0$:

\[\lim_{x \to x_0} h(x) = a\]

20. Первый замечательный предел

Теорема 13 (Первый замечательный предел)

Пусть функция $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ определена в $\dot{\mathcal{U}}(0)$ точки $x = 0$, тогда:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

Доказательство:

1) Докажем, что $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$:

Построим единичную окружность с центром в точку $O(0,0)$. Проведем луч из начала координат под углом $x$ к положительному направлению оси $Ox$.

Отметим точку пересечения с окружностью $B$, $OA = 1$.

Проведем касательную в точке $A$ и обозначим точку пересечения $C$.

Рассмотрим $\Delta OAB$, сектор $OAB$ и $\Delta OAC$:

\[S_{\Delta OAB} < S_{\text{сектора } OAB} < S_{\Delta OAC}\]

$S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin x = \frac{1}{2} \sin x$
$S_{\Delta OAC} = \frac{1}{2} OA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \text{tg}\,x = \frac{1}{2} \text{tg}\,x$
$S_{\text{сектора } OAB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot x = \frac{1}{2} x$

Отсюда:

\[\frac{1}{2} \sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \text{tg}\,x\]

\[\sin x < x < \text{tg}\,x\]

Разделим на $\sin x > 0$ (т.к. $x \in \text{I}$ четверти):

\[1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\]

\[\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\]

Перейдем в этом неравенстве к пределу при $x \to 0^+$, используя теорему 12:

\[\lim_{x \to 0^+} \cos x \le \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} \le \lim_{x \to 0^+} 1 \quad (5)\]

Так как:

$\lim_{x \to 0^+} 1 = 1$
$\lim_{x \to 0^+} \cos x = \lim_{x \to 0^+} (1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}) = 1 - 2 \lim_{x \to 0^+} \sin^2 \frac{x}{2} = 1 - 0 = 1$

Тогда из неравенства (5) получаем, что:

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1\]

2) Докажем, что $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1$:

\[\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = \begin{Bmatrix} t = -x \Rightarrow x = -t \\ \text{если } x \to 0^-, t \to 0^+ \end{Bmatrix} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin(-t)}{-t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{-\sin t}{-t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} = 1\]

В результате получаем:

\[\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1 \implies \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

Примеры:

$\lim_{x \to a} \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin a}{a} \quad (a = \text{const})$
$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

21. Предел сложной функции

Теорема 14 (О пределе сложной функции)

Пусть функция $f(x)$ определена в $\dot{\mathcal{U}}(x_0)$ в точке $x = x_0$, причем со значениями в $\dot{\mathcal{U}}(y_0)$ точки $y = y_0$, и:

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0\]

Пусть функция $g(y)$ определена в $\dot{\mathcal{U}}(y_0)$ в точке $y = y_0$, и:

\[\lim_{y \to y_0} g(y) = a\]

Тогда:

\[\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = a\]

Доказательство:

Из того, что $\lim_{y \to y_0} g(y) = a$, по определению: для $\forall \varepsilon > 0$ найдется число $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$, такое что для всех $y$, для которых $0 < \vert{}y - y_0\vert{} < \delta$, выполняется неравенство:

\[\vert{}g(y) - a\vert{} < \varepsilon\]

Из того, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0$, по определению: для числа $\delta > 0$ найдется число $\gamma = \gamma(\delta) > 0$, такое что для всех $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \gamma$, выполняется:

\[\vert{}f(x) - y_0\vert{} < \delta\]

Так как $y = f(x) \in \dot{\mathcal{U}}(y_0)$, то $y \neq y_0 \implies 0 < \vert{}y - y_0\vert{} < \delta$.
Получили, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется число $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$ и $\gamma = \gamma(\delta) > 0$, такое что для всех $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \gamma$, выполняется $0 < \vert{}y - y_0\vert{} < \delta$, и для всех $x$, для которых $0 < \vert{}x - x_0\vert{} < \gamma$, выполняется:

\[\vert{}g(y) - a\vert{} = \vert{}g(f(x)) - a\vert{} < \varepsilon\]

(т.к. $f(x) = y$)

Тогда по определению предела функции:

\[\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = a\]

Часть VI. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

22. Основные определения

Определение 9 (Бесконечно малая функция)

Пусть функция $\alpha(x)$ определена в проколотой окрестности $\dot{U}(x_0)$ точки $x_0$.

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой (б.м.) функцией при $x \to x_0$, если: $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0 : \quad \forall x \quad (0 < |x - x_0| < \delta) \implies |\alpha(x)| < \varepsilon$$

Из определения следует: $$\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$$

Определение 10 (Бесконечно большая функция)

Пусть функция $\beta(x)$ определена в проколотой окрестности $\dot{U}(x_0)$.

Функция $\beta(x)$ называется бесконечно большой (б.б.) функцией при $x \to x_0$, если: $$\forall E > 0 \quad \exists \delta = \delta(E) > 0 : \quad \forall x \quad (0 < |x - x_0| < \delta) \implies |\beta(x)| > E$$

Из определения следует: $$\lim_{x \to x_0} \beta(x) = \infty$$

Примечание: Является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой, зависит от точки $x_0$ (числа, к которому стремится переменная $x$).

23. Свойства бесконечно малых функций

Теорема 15 (О связи функции, её предела и бесконечно малой)

Пусть функция $f(x)$ определена в $\dot{U}(x_0)$.

Функция $f(x)$ имеет предел при $x \to x_0$, равный $a$ ($a = \mathrm{const}$), тогда и только тогда, когда её можно представить в виде: $$f(x) = a + \alpha(x)$$ где $\alpha(x)$ — бесконечно малая функция при $x \to x_0$.

Доказательство:

Необходимость ($\implies$): Пусть $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$. Тогда по определению предела функции: $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0 : \quad \forall x \quad (0 < |x - x_0| < \delta) \implies |f(x) - a| < \varepsilon$$ Обозначим: $\alpha(x) = f(x) - a$. Тогда: $$|\alpha(x)| = |f(x) - a| < \varepsilon$$ Следовательно, по определению б.м. функции, $\alpha(x)$ является б.м. при $x \to x_0$. Так как по обозначению $f(x) - a = \alpha(x)$, получаем: $$f(x) = a + \alpha(x), \quad \text{где } \alpha(x) \to 0 \text{ при } x \to x_0$$
Достаточность ($\impliedby$): Пусть функцию $f(x)$ можно представить в виде $f(x) = a + \alpha(x)$, где $a = \mathrm{const}$, а $\alpha(x)$ — б.м. при $x \to x_0$. Отсюда: $$\alpha(x) = f(x) - a$$ Так как $\alpha(x)$ — б.м. при $x \to x_0$, то по определению: $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0 : \quad \forall x \quad (0 < |x - x_0| < \delta) \implies |\alpha(x)| < \varepsilon$$ А так как $\alpha(x) = f(x) - a$, то: $$|f(x) - a| < \varepsilon$$ Тогда по определению предела функции в точке $x = x_0$: $$\lim_{x \to x_0} f(x) = a$$ $\blacksquare$

Теорема 16 (О сумме конечного числа бесконечно малых функций)

Пусть функции $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \dots, \alpha_k(x)$ определены в $\dot{U}(x_0)$ и являются бесконечно малыми при $x \to x_0$. Тогда их алгебраическая сумма: $$\alpha_1(x) + \alpha_2(x) + \dots + \alpha_k(x)$$ также является бесконечно малой функцией при $x \to x_0$.

Доказательство (для $k = 2$):

Так как $\alpha_1(x)$ — б.м. при $x \to x_0$, то: $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta_1 = \delta_1(\varepsilon) > 0 : \quad \forall x \quad (0 < |x - x_0| < \delta_1) \implies |\alpha_1(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$$
Так как $\alpha_2(x)$ — б.м. при $x \to x_0$, то: $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta_2 = \delta_2(\varepsilon) > 0 : \quad \forall x \quad (0 < |x - x_0| < \delta_2) \implies |\alpha_2(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$$
Положим $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\} > 0$. Тогда для всех $x$, удовлетворяющих $0 < |x - x_0| < \delta$, выполнено: $$|\alpha_1(x) + \alpha_2(x)| \le |\alpha_1(x)| + |\alpha_2(x)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

Таким образом: $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \quad \forall x \quad (0 < |x - x_0| < \delta) \implies |\alpha_1(x) + \alpha_2(x)| < \varepsilon$$ Следовательно, сумма $\alpha_1(x) + \alpha_2(x)$ является б.м. функцией при $x \to x_0$. (Для произвольного $k$ доказательство проводится аналогично по математической индукции). $\blacksquare$

Теорема 17 (О произведении ограниченной функции на бесконечно малую)

Пусть функции $f(x)$ и $\alpha(x)$ определены в $\dot{U}(x_0)$. Если $f(x)$ ограничена в этой окрестности, а $\alpha(x)$ является бесконечно малой при $x \to x_0$, то их произведение: $$f(x) \cdot \alpha(x)$$ является бесконечно малой функцией при $x \to x_0$.

Доказательство:

Так как $f(x)$ ограничена в $\dot{U}(x_0)$, то: $$\exists C > 0 : \quad \forall x \in \dot{U}(x_0) \implies |f(x)| \le C$$
Так как $\alpha(x)$ — б.м. при $x \to x_0$, то для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$, что для всех $x$ с условием $0 < |x - x_0| < \delta$ выполняется: $$|\alpha(x)| < \frac{\varepsilon}{C} \quad \left(\text{или } < \frac{\varepsilon}{C+1}\right)$$
Для всех таких $x$ рассмотрим модуль произведения: $$|f(x) \cdot \alpha(x)| = |f(x)| \cdot |\alpha(x)| \le C \cdot |\alpha(x)| < C \cdot \frac{\varepsilon}{C} = \varepsilon$$

Следовательно, $|f(x) \cdot \alpha(x)| < \varepsilon$, что по определению означает, что $f(x) \cdot \alpha(x)$ — бесконечно малая функция при $x \to x_0$. $\blacksquare$

Следствия: 1. Произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция (так как любая б.м. локально ограничена). 2. Произведение бесконечно малой функции на константу есть бесконечно малая функция.

Теорема 18 (О связи бесконечно малых и бесконечно больших функций)

Пусть функция $\alpha(x)$ определена в $\dot{U}(x_0)$ и не обращается в ноль в этой окрестности ($\alpha(x) \neq 0$).

Функция $\alpha(x)$ является бесконечно малой при $x \to x_0$ тогда и только тогда, когда функция: $$\beta(x) = \frac{1}{\alpha(x)}$$ является бесконечно большой при $x \to x_0$.

Доказательство:

Необходимость ($\implies$): Пусть $\alpha(x)$ — б.м. функция при $x \to x_0$. Возьмём произвольное число $E > 0$. Положим $\varepsilon = \frac{1}{E} > 0$. Так как $\alpha(x)$ — б.м., то по определению $\exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0$, такое, что для всех $x$, для которых $0 < |x - x_0| < \delta$, выполняется: $$|\alpha(x)| < \varepsilon = \frac{1}{E}$$ Так как $\alpha(x) \neq 0$, то: $$|\beta(x)| = \frac{1}{|\alpha(x)|} > \frac{1}{\varepsilon} = E$$ Следовательно, для всех $0 < |x - x_0| < \delta$ выполнено $|\beta(x)| > E$, то есть $\beta(x)$ — б.б. функция при $x \to x_0$.
Достаточность ($\impliedby$): Пусть $\beta(x)$ — б.б. функция при $x \to x_0$. Возьмём сколь угодно малое $\varepsilon > 0$. Положим $E = \frac{1}{\varepsilon} > 0$. По определению б.б. функции для этого числа $E$ найдётся такое $\delta = \delta(E) > 0$, что для всех $0 < |x - x_0| < \delta$ выполняется: $$|\beta(x)| > E = \frac{1}{\varepsilon}$$ Тогда: $$|\alpha(x)| = \frac{1}{|\beta(x)|} < \frac{1}{E} = \varepsilon$$ Следовательно, по определению $\alpha(x)$ является б.м. функцией при $x \to x_0$. $\blacksquare$

24. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть функции $\alpha_1(x)$ и $\alpha_2(x)$ определены в $\dot{U}(x_0)$, не обращаются в ноль и являются бесконечно малыми при $x \to x_0$.

Бесконечно малая высшего порядка: Если $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} = 0$$ то $\alpha_1(x)$ называется бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с $\alpha_2(x)$ при $x \to x_0$. Обозначение: $\alpha_1(x) = o(\alpha_2(x))$ при $x \to x_0$ («o-малое»).

Примечание: Если $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} = \infty$, то $\alpha_2(x)$ имеет более высокий порядок малости, чем $\alpha_1(x)$, то есть $\alpha_2(x) = o(\alpha_1(x))$.

Бесконечно малые одного порядка: Если $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} = C \neq 0 \quad (C = \mathrm{const})$$ то функции $\alpha_1(x)$ и $\alpha_2(x)$ называются бесконечно малыми одного порядка малости при $x \to x_0$. Обозначение: $\alpha_1(x) = O(\alpha_2(x))$ и $\alpha_2(x) = O(\alpha_1(x))$ («O-большое»).
Эквивалентные бесконечно малые: Если $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} = 1$$ то функции называются эквивалентными при $x \to x_0$. Обозначение: $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ при $x \to x_0$.
Несравнимые бесконечно малые: Если предел $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)}$$ не существует, то функции называются несравнимыми бесконечно малыми при $x \to x_0$.

Пример несравнимых б.м.: Пусть $\alpha_1(x) = x \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right)$, а $\alpha_2(x) = x$ при $x \to 0$.

$\alpha_2(x) = x \to 0$ при $x \to 0$ (б.м. функция).

$\alpha_1(x) = x \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right) \to 0$ при $x \to 0$, так как это произведение б.м. ($x$) на ограниченную функцию $\left(|\operatorname{arctg}(1/x)| < \frac{\pi}{2}\right)$.

Рассмотрим отношение: $$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{arctg}(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0} \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right)$$ Исследуем односторонние пределы: $$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right) = \operatorname{arctg}(+\infty) = \frac{\pi}{2}$$ $$\lim_{x \to 0^-} \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right) = \operatorname{arctg}(-\infty) = -\frac{\pi}{2}$$ Так как односторонние пределы не совпадают, двухсторонний предел не существует. Следовательно, функции $\alpha_1(x)$ и $\alpha_2(x)$ несравнимы при $x \to 0$.

Порядок малости $k$: Функция $\alpha_1(x)$ называется бесконечно малой порядка малости $k > 0$ относительно $\alpha_2(x)$ при $x \to x_0$, если: $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{(\alpha_2(x))^k} = C \neq 0 \quad (C = \mathrm{const})$$ Обозначение: $\alpha_1(x) = O\left((\alpha_2(x))^k\right)$.

(Далее в лекции следует тема: «Таблица эквивалентных бесконечно малых при $x \to 0$»)

Часть VII. Эквивалентные бесконечно малые

25. Таблица эквивалентных бесконечно малых при $x \to 0$

При $x \to 0$:

$\sin x \sim x$
$\operatorname{tg} x \sim x$
$\arcsin x \sim x$
$\operatorname{arctg} x \sim x$
$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
$\ln(1 + x) \sim x$
$\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a}$
$e^x - 1 \sim x$
$a^x - 1 \sim x \ln a$
$(1 + x)^m - 1 \sim m x$

26. Доказательства некоторых эквивалентностей

1) $\sin x \sim x$ при $x \to 0$

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad \text{(первый замечательный предел)} \implies \sin x \sim x. \]

2) $\operatorname{tg} x \sim x$ при $x \to 0$

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \cdot 1 = 1. \]

3) $\arcsin x \sim x$ при $x \to 0$

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = \begin{Bmatrix} t = \arcsin x \implies x = \sin t \\ \text{если } x \to 0, \text{ то } t \to 0 \end{Bmatrix} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{\sin t}{t}} = \frac{\lim_{t \to 0} 1}{\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}} = \frac{1}{1} = 1. \]

5) $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ при $x \to 0$

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\frac{x^2}{2}} = \left\{ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} \right\} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\frac{x^2}{4}} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = 1^2 = 1. \]

6) $\ln(1 + x) \sim x$ при $x \to 0$

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(1 + x) = \lim_{x \to 0} \ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} = \ln \left( \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} \right) = \ln e = 1. \]

8) $e^x - 1 \sim x$ при $x \to 0$

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \begin{Bmatrix} t = e^x - 1 \implies x = \ln(t + 1) \\ \text{если } x \to 0, \text{ то } t \to 0 \end{Bmatrix} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1 + t)} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t}\ln(1 + t)} = \frac{1}{\lim_{t \to 0} \ln(1 + t)^{\frac{1}{t}}} = \frac{1}{\ln e} = 1. \]

9) $a^x - 1 \sim x \ln a$ при $x \to 0$

\[ a^x = e^{x \ln a}. \]

При $x \to 0$ величина $x \ln a \to 0$, поэтому в силу формулы (8):

\[ e^{x \ln a} - 1 \sim x \ln a \implies a^x - 1 \sim x \ln a. \]

10) $(1 + x)^m - 1 \sim m x$ при $x \to 0$

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^m - 1}{m x} &= \lim_{x \to 0} \frac{e^{m \ln(1 + x)} - 1}{m x} \\ &= \{ \ln(1 + x) \sim x \text{ при } x \to 0 \} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{e^{m x} - 1}{m x} \\ &= \{ e^{m x} - 1 \sim m x \text{ при } x \to 0 \} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{m x}{m x} = 1. \end{aligned} \]

27. Свойства эквивалентных бесконечно малых

Теорема 19 (о рефлексивности, симметричности и транзитивности эквивалентных б.м.)

Формулировка:

Пусть функции $\alpha_1(x)$, $\alpha_2(x)$, $\alpha_3(x)$ определены в проколотой окрестности $\dot{U}(x_0)$ точки $x_0$, не обращаются в ноль в этой окрестности и являются б.м. при $x \to x_0$.

Тогда они обладают свойствами:

Рефлексивность:

$$ \alpha_1(x) \sim \alpha_1(x) \quad \text{при } x \to x_0. $$

Симметричность:

$$ \text{Если } \alpha_1(x) \sim \alpha_2(x) \text{ при } x \to x_0, \text{ то } \alpha_2(x) \sim \alpha_1(x) \text{ при } x \to x_0. $$

Транзитивность:

$$ \text{Если } \alpha_1(x) \sim \alpha_2(x) \text{ и } \alpha_2(x) \sim \alpha_3(x) \text{ при } x \to x_0, \text{ то } \alpha_1(x) \sim \alpha_3(x) \text{ при } x \to x_0. $$

Доказательство:

Так как $\frac{\alpha_1(x)}{\alpha_1(x)} = 1$, то по определению:

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_1(x)} = 1 \implies \alpha_1(x) \sim \alpha_1(x). $$

Пусть $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ при $x \to x_0$. По определению:

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} = 1. $$

Тогда:

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_2(x)}{\alpha_1(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)}} = \frac{1}{\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)}} = \frac{1}{1} = 1 \implies \alpha_2(x) \sim \alpha_1(x). $$

Так как $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ и $\alpha_2(x) \sim \alpha_3(x)$ при $x \to x_0$, то:

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} = 1, \qquad \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_2(x)}{\alpha_3(x)} = 1. $$

Рассмотрим предел:

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_3(x)} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} \cdot \frac{\alpha_2(x)}{\alpha_3(x)} \right) = \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_2(x)}{\alpha_3(x)} = 1 \cdot 1 = 1. $$

По определению $\alpha_1(x) \sim \alpha_3(x)$ при $x \to x_0$. $\blacksquare$

28. Необходимое и достаточное условие эквивалентности б.м.

Теорема 20 (необходимое и достаточное условие эквивалентности б.м.)

Формулировка:

Пусть функции $\alpha_1(x)$, $\alpha_2(x)$ и определены в $\dot{U}(x_0)$, не обращаются в $0$ в этой окрестности и являются б.м. при $x \to x_0$.

Для того чтобы б.м. функции $\alpha_1(x)$ и $\alpha_2(x)$ были эквивалентными при $x \to x_0$, необходимо и достаточно, чтобы их разность была б.м. более высокого порядка малости по сравнению с каждой из них при $x \to x_0$:

\[ \alpha_1(x) - \alpha_2(x) = \overline{o}(\alpha_2(x)) \quad \text{и} \quad \alpha_1(x) - \alpha_2(x) = \overline{o}(\alpha_1(x)) \quad (x \to x_0). \]

Доказательство:

1) Необходимость:

Пусть $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ при $x \to x_0$. Тогда по определению:

\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} = 1. \]

Рассмотрим:

\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x) - \alpha_2(x)}{\alpha_2(x)} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} - 1 \right) = \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} - \lim_{x \to x_0} 1 = 1 - 1 = 0. \]

По определению $o$-малого получаем, что:

\[ \alpha_1(x) - \alpha_2(x) = \overline{o}(\alpha_2(x)) \quad \text{при } x \to x_0. \]

Аналогично доказывается:

\[ \alpha_1(x) - \alpha_2(x) = \overline{o}(\alpha_1(x)) \quad \text{при } x \to x_0. \]

2) Достаточность:

Пусть $\alpha_1(x) - \alpha_2(x) = \overline{o}(\alpha_2(x))$ при $x \to x_0$. По определению:

\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x) - \alpha_2(x)}{\alpha_2(x)} = 0 \quad (3). \]

Раскроем предел:

\[ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} - 1 \right) = \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} - 1. \]

С учетом $(3)$:

\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} - 1 = 0 \implies \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)} = 1. \]

По определению:

\[ \alpha_1(x) \sim \alpha_2(x) \quad \text{при } x \to x_0. \]

(Аналогично, если $\alpha_1(x) - \alpha_2(x) = \overline{o}(\alpha_1(x))$, то $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$). $\blacksquare$

Часть VIII. Теория пределов и непрерывность функций

29. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых

Теорема 21 (об использовании эквивалентных функций при вычислении предела)

Формулировка: Пусть функции $f(x)$, $g(x)$, $\alpha(x)$ определены в некоторой проколотой окрестности $\dot{U}_\delta(x_0)$ и $g(x) \ne 0$, $\alpha(x) \ne 0$ в этой окрестности. Пусть $f(x) \sim \alpha(x)$ при $x \to x_0$.

Если существует предел: $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{g(x)} = a,$$ то существует и предел: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = a.$$

Доказательство: Так как $f(x) \sim \alpha(x)$ при $x \to x_0$, то по определению эквивалентности: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{\alpha(x)} = 1.$$

Рассмотрим предел отношения: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) \cdot \alpha(x)}{g(x) \cdot \alpha(x)} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)}{\alpha(x)} \cdot \frac{\alpha(x)}{g(x)} \right) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{\alpha(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{g(x)} = 1 \cdot a = a.$$ Теорема доказана. $\blacksquare$

Примеры вычисления пределов:

Вычислить предел при $t \to 0$: $$\lim_{t \to 0} \frac{\operatorname{tg}(\pi(1 + t))}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\operatorname{tg}(\pi + \pi t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\operatorname{tg}(\pi t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\pi t}{t} = \pi$$ (так как $\operatorname{tg}(\pi t) \sim \pi t$ при $t \to 0$).
Вычислить предел неопределенности $[1^\infty]$: $$\lim_{x \to 0} \left[ 1 + \ln(1 + \arcsin x) \right]^{\frac{1}{\operatorname{arctg} x}} = [1^\infty]$$ Используем эквивалентности при $x \to 0$:
$\arcsin x \sim x$;
$\operatorname{arctg} x \sim x$;
$\ln(1 + x) \sim x$.

Получаем: $$= \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e.$$

Предел отношения степенных выражений при $x \to \infty$: $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 3}{x - 4} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \frac{\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x}{\left(1 - \frac{4}{x}\right)^x} = \frac{e^3}{e^{-4}} = e^7.$$

Типичные ошибки при замене на эквивалентные:

$\sin x \sim x$ справедливо только при $x \to 0$ (неверно применять при $x \to \infty$).
$\operatorname{tg}(\pi + \pi x) \sim \pi + \pi x$ при $x \to 0$ — неверно, так как аргумент стремится к $\pi \ne 0$. Правильно: сначала применить формулу приведения $\operatorname{tg}(\pi + \pi x) = \operatorname{tg}(\pi x)$, а затем $\operatorname{tg}(\pi x) \sim \pi x$.
$\operatorname{arctg} x \sim x$ верно только при $x \to 0$, тогда как $\lim_{x \to \infty} \operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2}$.
$\sin \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}$ верно при $x \to \infty$ (так как $\frac{1}{x} \to 0$), но неверно при $x \to 0$.

Теорема 22 (о сумме бесконечно малых разных порядков)

Формулировка: Пусть функции $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \dots, \alpha_n(x)$ определены в $\dot{U}_\delta(x_0)$, не обращаются в ноль и являются бесконечно малыми при $x \to x_0$ порядков $k_1, k_2, \dots, k_n$ соответственно по сравнению с бесконечно малой $\varphi(x)$, причем все $k_i$ попарно различны.

Тогда сумма бесконечно малых: $$\alpha(x) = \alpha_1(x) + \alpha_2(x) + \dots + \alpha_n(x)$$ будет эквивалентна слагаемому $\alpha_m(x)$, порядок которого наименьший среди всех слагаемых: $$k_m = \min \{k_1, k_2, \dots, k_n\}.$$

Доказательство (методом математической индукции): По условию: $$\alpha_i(x) \sim (\varphi(x))^{k_i}, \quad x \to x_0.$$

База и шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для $(n - 1)$ слагаемых. Пусть: $$k_{n-1} = \min \{k_1, k_2, \dots, k_{n-1}\}, \quad \text{тогда} \quad \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i(x) \sim \alpha_{n-1}(x).$$

Докажем утверждение для суммы $n$ слагаемых. Пусть $k_n < k_{n-1}$ (то есть $k_n = \min \{k_1, \dots, k_n\}$). Рассмотрим отношение: $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_1(x) + \dots + \alpha_{n-1}(x) + \alpha_n(x)}{\alpha_n(x)} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{\alpha_1(x) + \dots + \alpha_{n-1}(x)}{\alpha_n(x)} + 1 \right)$$ $$= \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_{n-1}(x)}{\alpha_n(x)} + 1 = \lim_{x \to x_0} \frac{(\varphi(x))^{k_{n-1}}}{(\varphi(x))^{k_n}} + 1 = \lim_{x \to x_0} (\varphi(x))^{k_{n-1} - k_n} + 1.$$

Так как $k_n < k_{n-1}$, разность степеней $k_{n-1} - k_n > 0$. Поскольку $\varphi(x) \to 0$ при $x \to x_0$: $$\lim_{x \to x_0} (\varphi(x))^{k_{n-1} - k_n} = 0 \implies 0 + 1 = 1.$$

Следовательно: $$\alpha_1(x) + \alpha_2(x) + \dots + \alpha_n(x) \sim \alpha_n(x) \quad \text{при } x \to x_0,$$ где $\alpha_n(x)$ — бесконечно малая наименьшего порядка (главная часть). $\blacksquare$

Примечание (для бесконечно больших функций):

Если функции $\beta_1(x), \beta_2(x), \dots, \beta_n(x)$ являются бесконечно большими функциями при $x \to \infty$ порядков роста $k_1, k_2, \dots, k_n$ по сравнению с $\psi(x)$, то их сумма эквивалентна слагаемому с наибольшим порядком роста.

Пример: При $x \to \infty$: $$x^3 + 4x^5 + \sqrt{x} - 4 \sim 4x^5.$$

30. Непрерывность функции в точке

Определение 11 (Приращение аргумента и функции)

Пусть функция $f(x)$ определена в окрестности точки $x$. Зададим аргументу приращение $\Delta x$, тогда новое значение аргумента равно $x + \Delta x$. * Приращением аргумента называется: $$\Delta x = (x + \Delta x) - x.$$ * Приращением функции $\Delta f(x)$ (или $\Delta y$), соответствующим приращению $\Delta x$, называется разность: $$\Delta f(x) = f(x + \Delta x) - f(x).$$

Определение 12 (Непрерывность функции в точке)

1. Определение на языке $\varepsilon$-$\delta$ (по Коши):

Функция $f(x)$, определенная в некоторой окрестности $U(x_0)$, называется непрерывной в точке $x_0$, если: $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0 \quad \forall x \colon |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.$$

2. Определение через предел:

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в ней: $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$

3. Определение через приращения:

Перепишем соотношение: $$\lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = 0.$$ Обозначив $\Delta x = x - x_0$ и $\Delta y = f(x) - f(x_0)$, получаем: $$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0.$$

Формулировка: Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Непрерывность на множестве и односторонняя непрерывность

Определение 13 (Непрерывность на интервале): Функция $f(x)$ называется непрерывной на интервале $(a, b)$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Непрерывность справа: Функция $f(x)$, заданная на $[x_0, b)$, называется непрерывной в точке $x_0$ справа, если: $$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0).$$
Непрерывность слева: Функция $f(x)$, заданная на $(a, x_0]$, называется непрерывной в точке $x_0$ слева, если: $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0).$$
Определение 14 (Непрерывность на отрезке): Функция $f(x)$ называется непрерывной на отрезке $[a, b]$, если она:
Непрерывна во всех внутренних точках интервала $(a, b)$;
Непрерывна справа в точке $x = a$;
Непрерывна слева в точке $x = b$.

31. Точки разрыва функции и их классификация

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке $x_0$:

Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$;
Существуют конечные односторонние пределы $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = a$ и $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = b$;
Пределы равны между собой: $a = b = L$;
Значение предела совпадает со значением функции: $L = f(x_0)$.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, точка $x_0$ называется точкой разрыва функции $f(x)$.

Классификация точек разрыва

1. Разрыв I рода: устранимый разрыв

Существуют конечные односторонние пределы, и они равны между собой, но функция в точке либо не определена, либо значение функции не равно пределу: $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = a \ne \infty, \quad \text{но } f(x_0) \ne a \text{ или } f(x_0) \text{ не существует}.$$

Функцию можно доопределить по непрерывности: $$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x), & x \ne x_0, \\ a, & x = x_0. \end{cases}$$

Пример: $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}, \quad x_0 = -2.$$ * При $x \ne -2$: $f(x) = x - 2$. * Пределы слева и справа: $$\lim_{x \to -2^-} \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = -4, \quad \lim_{x \to -2^+} \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = -4.$$ * Точка $x = -2$ — устранимый разрыв I рода. * Доопределение: $$\tilde{f}(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x + 2}, & x \ne -2, \\ -4, & x = -2. \end{cases}$$

2. Разрыв I рода: скачок (конечный неустранимый разрыв)

Существуют конечные левосторонний и правосторонний пределы, но они не равны между собой: $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = a, \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = b, \quad a \ne b, \quad a, b \ne \pm\infty.$$ Величина скачка: $\Delta = |b - a|$.

Пример: $$f(x) = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x - 1}\right), \quad x_0 = 1.$$ * Левосторонний предел: $$\lim_{x \to 1^-} \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x - 1}\right) = \left[\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{-0}\right) = \operatorname{arctg}(-\infty)\right] = -\frac{\pi}{2}.$$ * Правосторонний предел: $$\lim_{x \to 1^+} \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x - 1}\right) = \left[\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{+0}\right) = \operatorname{arctg}(+\infty)\right] = \frac{\pi}{2}.$$ * Так как $-\frac{\pi}{2} \ne \frac{\pi}{2}$, $x = 1$ — точка разрыва I рода типа «скачок».

3. Разрыв II рода

Точка $x = x_0$ называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен ($\pm\infty$) или вовсе не существует: $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty \quad \text{или} \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty \quad (\text{либо пределы не существуют}).$$

Замечание: Если в точке $x = x_0$ функция имеет разрыв II рода со стремлением к бесконечности, прямая $x = x_0$ является вертикальной асимптотой графика $y = f(x)$.

Пример: $$f(x) = e^{\frac{1}{x}}, \quad x_0 = 0.$$ * Предел слева: $$\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{-0}} = e^{-\infty} = \frac{1}{e^{+\infty}} = 0.$$ * Предел справа: $$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{+0}} = e^{+\infty} = +\infty.$$ * Так как предел справа равен $+\infty$, точка $x = 0$ — точка разрыва II рода.

Сводная классификация точек разрыва в кусочно-заданных функциях

Тип разрыва	Односторонние пределы $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = a$, $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = b$	Соотношение пределов	Поведение в точке стыка ветвей
I род (устранимый)	Оба предела конечны ($a, b \ne \infty$)	$a = b$	Функция не определена или $f(x_0) \ne a$
I род («скачок»)	Оба предела конечны ($a, b \ne \infty$)	$a \ne b$	Конечный скачок значений
II род	Хотя бы один предел бесконечен ($\pm\infty$) или не существует	—	Наличие бесконечного скачка / асимптоты

Примечание к кусочным функциям: Точки стыка ветвей анализируются на непрерывность через вычисление односторонних пределов слева и справа. Если пределы равны и совпадают со значением функции в точке стыка, функция склеена непрерывно.

Ситуация	Обозначение	Что откладываем на осях
Конечный предел в точке	\(\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = a\)	\(Oy\): \(a\pm\varepsilon\); \(Ox\): \(x_0\pm\delta\)
Конечный предел на бесконечности	\(\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = a\)	\(Oy\): \(a\pm\varepsilon\); \(Ox\): \(\pm M\)
Бесконечный предел в точке	\(\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty\)	\(Oy\): \(\pm\varepsilon\); \(Ox\): \(x_0\pm\delta\)
Правосторонний предел	\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+} f(x) = a\)	только правая часть окрестности \(x_0\)
Левосторонний предел	\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-} f(x) = a\)	только левая часть окрестности \(x_0\)

Тип разрыва	Односторонние пределы \(\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = a\), \(\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = b\)	Соотношение пределов	Поведение в точке стыка ветвей
I род (устранимый)	Оба предела конечны (\(a, b \ne \infty\))	\(a = b\)	Функция не определена или \(f(x_0) \ne a\)
I род («скачок»)	Оба предела конечны (\(a, b \ne \infty\))	\(a \ne b\)	Конечный скачок значений
II род	Хотя бы один предел бесконечен (\(\pm\infty\)) или не существует	—	Наличие бесконечного скачка / асимптоты

Конспект по математическому анализу

Содержание

Часть I. Множества и действительные числа

1. Множества

Иерархия числовых множеств

2. Свойства действительных чисел

3. Последовательность вложенных отрезков

Лемма 1. О последовательности вложенных отрезков

Доказательство:

4. Промежутки числовой оси

5. Окрестность точки

Виды окрестностей

6. Ограниченность и неограниченность множеств

Точные грани множеств (Supremum & Infimum)

Часть II. Числовые последовательности

7. Числовые последовательности

Ограниченность последовательностей

Монотонность

8. Предел числовой последовательности

Пример

9. Свойства числовых последовательностей

Теорема 1 (О пределе постоянной последовательности)

Теорема 2 (О единственности предела сходящейся последовательности)

Теорема 3 (Об ограниченности сходящейся последовательности)

10. Арифметические действия над последовательностями

Теорема 4 (О пределе суммы)

Теорема 5 (О пределе произведения)

Часть III. Пределы последовательностей и предел функции

11. Арифметика пределов последовательностей (продолжение)

Следствие 1 (Вынесение постоянного множителя)

Теорема 6 (О пределе частного сходящихся последовательностей)

Доказательство:

12. Фундаментальные последовательности и критерий Коши

Определение 1. Фундаментальная последовательность

Теорема 7 (Критерий Коши о существовании предела последовательности)

Доказательство:

13. Правила вычисления пределов и неопределенности

Типовые соотношения:

Методы раскрытия неопределенностей

1. Неопределенность \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\)

2. Неопределенность \([\infty - \infty]\)

14. Предел функции

Определение 2. Предел функции по Гейне

Понятие окрестности точки \(x_0\):

Часть IV. Предел функции по Коши

15. Определения предела функции по Коши

Определение 3. Предел функции в точке (по Коши)

Геометрическое пояснение

Определение 4. Предел функции при \(x \to \infty\)

Пояснение

Определение 5. Бесконечный предел функции в точке

Пояснение

16. Односторонние пределы

Определение 6. Правосторонний предел

Определение 7. Левосторонний предел

Примечание (связь одностороннего и обычного предела)

17. Теоремы о пределах

Теорема 8 (о единственности предела функции)

Определение 8. Ограниченная функция

Теорема 9 (о локальной ограниченности функции, имеющей предел)

18. Краткая сводка обозначений

Часть V. Теоремы о пределах функции

19. Теоремы о пределах функции (продолжение)

Теорема 10 (О сохранении функцией знака своего предела)

Доказательство:

Теорема 11 (О предельном переходе в неравенство)

Доказательство (от противного):

Примечание

Пример:

Теорема 12 (О пределе промежуточной функции / "Зажатая функция")

Доказательство:

20. Первый замечательный предел

Теорема 13 (Первый замечательный предел)

Доказательство:

1) Докажем, что \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1\):

2) Докажем, что \(\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1\):

Примеры:

21. Предел сложной функции

Теорема 14 (О пределе сложной функции)

Доказательство: